On the chromatic symmetric function of a tree

Stanley defined the chromatic symmetric function X(G) of a graph G as a sum of monomial symmetric functions corresponding to proper colorings of G, and asked whether a tree is determined up to isomorphism by its chromatic symmetric function. We approach Stanley’s question by asking what invariants of a tree T can be recovered from its chromatic symmetric function X(T ). We prove that the degree sequence (δ1, . . . ), where δj is the number of vertices of T of degree j, and the path sequence (π1, . . . ), where πk is the number of k-edge paths in T , are given by explicit linear combinations of the coefficients of X(T ). These results are consistent with an affirmative answer to Stanley’s question. We briefly present some applications of these results to classifying certain special classes of trees by their chromatic symmetric functions. Résumé. Stanley a défini la fonction symétrique chromatique X(G) d’un graphe G par une somme de fonctions symétriques monomials qui correspondent aux colorations propres de G, et il a demandé si un arbre est déterminé jusqu’à l’isomorphisme par sa fonction symétrique chromatique. Nous approchons la question de Stanley en demandant quels invariants d’un arbre T peut être récupéré de sa fonction symétrique chromatique X(T ). Nous prouvons que le suite des degrés (δ1, . . . ), où δj est le nombre des sommets de T de degré j, et le suite des chemins (π1, . . . ), où πk est le nombre de chemins de longueur k, sont données par des combinaisons lineaires explicites des coefficients X(T ). Ces résultats sont conformés à une réponse affirmative à la question de Stanley. Nous présentons brièvement quelques applications de ces résultats à classifier certaines classes spéciales des arbres par ses fonctions symétriques chromatiques. Introduction Let G be a simple graph with vertices V (G) and edges E(G), and let n = #V (G) (the order of G). We assume familiarity with standard facts about graphs and trees, as set forth in, e.g., [11, Chapters 1–2]. In particular, a coloring of G is a function κ : V (G) → {1, 2, . . .} such that κ(v) 6= κ(w) whenever the vertices v, w are adjacent. Stanley [7] defined the chromatic symmetric function of G as X(G) = X(G;x1, x2, . . . ) = ∑